Như trong giải tích thực, một hàm phức "trơn" w = f(z) có thể có đạo hàm tại một điểm nào đó trong miền xác định Ω. Thực tế định nghĩa đạo hàm

f ′ ( z ) = d w d z = lim h → 0 f ( z + h ) − f ( z ) h {\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {dw}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,}

tương tự trong trường hợp thực, với một điểm khác biệt quan trọng: Trong giải tích thực, giới hạn chỉ có thể có bằng việc di chuyển trên đường thẳng thực một chiều. Trong giải tích phức, giới hạn có được bằng cách di chuyển theo hướng bất kì trên mặt phẳng phức hai chiều.

Nếu giới hạn này tồn tại với mọi điểm z trong Ω, khi đó f(z) được gọi là khả vi trên Ω. Có thể chứng minh rằng mọi hàm khả vi f(z) đều là hàm giải tích. Đây là kết quả mạnh hơn trường hợp hàm thực. Trong giải tích thực, ta có thể xây dựng hàm f(x) có đạo hàm bậc nhất tại mọi nơi nhưng đạo hàm bậc hai không tồn tại tại một hay nhiều điểm trên tập xác định của hàm. Tuy nhiên trên mặt phẳng phức, chỉ cần f(z) khả vi bậc một trong một lân cận thì nó sẽ khả vi vô hạn trong lân cận đó.

Bằng cách áp dụng phương pháp của giải tích véc tơ để tính đạo hàm riêng của hai hàm vec tơ u(x, y) và v(x, y) vào cho hàm f(z), và xem xét hai đường đến z trong Ω, có thể chỉ ra rằng đạo hàm tồn tại nếu và chỉ nếu

∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − i ∂ u ∂ y ( = f ′ ( z ) ) . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}(=f^{\prime }(z)).\,}

Đồng nhất phần thực và phần ảo của biểu thức ta có phương trình Cauchy-Riemann:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,} hoặc ký hiệu khác, u x = v y u y = − v x . {\displaystyle u_{x}=v_{y}\qquad u_{y}=-v_{x}.\,}

Vi phân hệ hai phương trình đạo hàm riêng này, đầu tiên theo x, sau đó theo y ta dễ dàng chỉ ra rằng

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0\,} hoặc dưới dạng ký hiệu khác, u x x + u y y = v x x + v y y = 0. {\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=v_{xx}+v_{yy}=0.\,}

Nói cách khác, phần thực và phần ảo của một hàm phức khả vi là các hàm điều hòa vì chúng thỏa mãn phương trình Laplace.